Τετάρτη, 5 Αυγούστου 2015

Θεωρία Παιγνίων


Με αφορμή τον πρώην υπουργό οικονομικών κ. Γιάνη Βαρουφάκη και την εξειδίκευση του στη θεωρία παιγνίων είναι ίσως ευκαιρία να πούμε λίγα πράγματα για αυτόν τον κλάδο των Μαθηματικών. (Αρκετοί βέβαια θα ισχυριστούν ότι η θεωρία παιγνίων δεν είναι κλάδος των Μαθηματικών αλλά αυτό είναι μια άλλη ιστορία…)
          Σύμφωνα με τη Wikipedia [1] η θεωρία παιγνίων είναι η μελέτη μαθηματικών μοντέλων σύγκρουσης και συνεργασίας μεταξύ λογικών οντοτήτων. Βρίσκει εφαρμογές μεταξύ άλλων στην βιολογία, τις πολιτικές επιστήμες, την πληροφορική, τη  ψυχολογία και βεβαίως τα οικονομικά. Στη μοντέρνα εκδοχή της ξεκίνησε από ένα άρθρο του John von Neumann [2] σχετικά με τις συνθήκες ισορροπίας παιχνιδιών μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δύο παικτών.
          Παίγνια μηδενικού αθροίσματος είναι μοντέλα καταστάσεων όπου τα κέρδη μιας πλευράς ισούνται με τη χασούρα των υπολοίπων. Μη σας μπερδεύει ο όρος ‘’παίγνιο’’. Με τη λέξη αυτή μπορεί να εννοούμε από την απλή τρίλιζα έως τα σενάρια πολέμου μεταξύ ΗΠΑ – ΕΣΣΔ που σχετίζονταν με την επιβίωση ολόκληρου του ανθρώπινου είδους!
Ένα οποιοδήποτε παίγνιο βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας όταν κανένας από τους παίκτες δεν έχει συμφέρον να διαφοροποιήσει τη στρατηγική του. Δηλαδή αν υποθέσουμε ότι παίζουμε ένα τέτοιο παίγνιο τότε έχουμε κατάσταση ισορροπίας αν εμένα δεν με συμφέρει να αλλάξω στρατηγική τι στιγμή που εσείς θα διατηρήσετε την ίδια και αντίστροφα εσείς δεν έχετε συμφέρον να αλλάξετε στρατηγική αν εγώ δεν αλλάξω τη δική μου. Στο παράδειγμα των δύο (πρώην) υπερδυνάμεων ούτε οι ΗΠΑ ούτε η ΕΣΣΔ είχαν συμφέρον να μειώσει η κάθε μια μονομερώς το πυρηνικό της οπλοστάσιο. Αυτό που λέμε ισορροπία του τρόμου. Στα δικά μας, ένας από τους λόγους που η Ελλάδα δεν απέκτησε πυρηνική βόμβα είναι γιατί τότε θα αποκτούσε και η Τουρκία και θα άρχιζε έτσι μια κούρσα πυρηνικού εξοπλισμού.
Η ύπαρξη ενός τέτοιου σημείου (ή κατάστασης αν προτιμάτε) ισορροπίας έχει αποδειχτεί από τον John von Neumann για τα παίγνια μηδενικού αθροίσματος μεταξύ δύο παικτών στο άρθρο που αναφέραμε πριν. Αποδείχτηκε για οποιοδήποτε παίγνιο με πεπερασμένο πλήθος δράσεων για κάθε παίκτη από τον John Forbes Nash το 1951. Για το έργο του αυτό πήρε το βραβείο Νόμπελ Οικονομικών το 1978. Η ιστορία του έγινε διάσημη από την ταινία ‘’A Beautiful Mind’’ (‘’Ένας Υπέροχος Άνθρωπος’’)  όπου τον υποδύθηκε ο Russell Crowe.
          Έως σήμερα έντεκα ειδικοί της θεωρίας παιγνίων έχουν κερδίσει το Νόμπελ Οικονομικών. Ο τελευταίος το 2014. Είναι ένας τρόπος για να πάρουν και οι μαθηματικοί το Νόμπελ (αν και για να λέμε την αλήθεια το βραβείο αυτό δεν είναι ακριβώς Νόμπελ, μια συζήτηση που δεν είναι του παρόντος)!   

Βιβλιογραφία
2.            Neumann, J. v. (1928), "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele", Mathematische Annalen 100 (1): 295–320, doi:10.1007/BF01448847 English translation: Tucker, A. W.; Luce, R. D., eds. (1959), "On the Theory of Games of Strategy", Contributions to the Theory of Games 4, pp. 13–42

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου